Страница № 169. Учебник

Учебник: Алгебра. 8 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / А. Г. Мордкович, Н. П. Николаев. — 4-е изд., перераб. — М.: Мнемозина, 2008. — 240 с.: ил.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 166, 167, 168, «169», 170, 171, 172, 173, 174, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 187, 188, 189, 190, 191, 192, 193, 194, 195, 196, 197, 198, 199, 200, 201, 202, 203, 204, 205, 206, 207, 208, 209, 210, 211, 212, 213, 214, 215, 216, 217, 218, 219, 220, 221, 222, 223, 224, 225, 226, 227, 228, 229, 230, 231, 232, 233, 234, 235, 236, 237, 238, 239, 240

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

во-первых, делятся на 11 (поскольку 1001 = 990 + 11, 100 001 = 99 990 + 11, 10 000 001 = 9 999 990 + 11; в записанных суммах первые слагаемые делятся на 11), а во-вторых, представимы в виде, соответственно, 10¹ + 1, 10³ + 1, 10⁵ + 1, 10⁷ + 1 и т. д.

Признак делимости на 11. Для того чтобы натуральное число делилось на 11, необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма его цифр, взятых со знаком «плюс», если цифры находятся на нечетных местах (начиная с цифры единиц), и взятых со знаком «минус», если цифры находятся на четных местах, делилась на 11.

Например, для числа 24 569 алгебраическая сумма, о которой идет речь в формулировке признака, имеет вид 9-6 + 5- 4 + 2, она равна 6; поскольку число 6 не делится на 11, то и число 24 569 не делится на 11.

Для иллюстрации идеи доказательства признака возьмем 8-значное число abcdefkm.

abcdefkm = а • 10⁷ + b • 10⁶ + с • 10⁵ + d • 10⁴ + e • 10³ +

+ / • 10² + k • 10 + m = (a • (10⁷ + 1) - a) + (b • (10⁶ - 1) + b) +

= a • (10⁷ + 1) + b- (10⁶ - 1) + с (10⁵ + 1) + d- (10⁴ - 1) + e (10³ + 1) + + f • (10² — 1) + k • (10 + 1) + (m — k + f — e + d — c + b — a).

Поскольку, как мы уже ранее установили, числа 10⁷ + 1, 10⁶ - 1, 10⁵ + 1, 10⁴ - 1, 10³ + 1, 10² - 1, 10¹ + 1 делятся на 11, делимость числа abcdefkm на 11 целиком и полностью зависит от делимости на 11 алгебраической суммы цифр

Пример 3. Не выполняя деления, доказать, что число 86 849 796 делится на 11.

Решение. Составим алгебраическую сумму цифр данного числа, начиная с цифры единиц и чередуя знаки «+» и «-»: 6-9 + 7-9 + 4--8 + 6- 8 = -11. Число -11 делится на 11, значит, и заданное число делится на 11. ■

Проведем вспомогательные рассуждения, которые позволят получить признаки делимости на 7 и на 13.

Рассмотрим число 10³ + 1, т. е. 1001. Имеем: 1001 = 7 • 11 • 13. Следовательно, (10³ + 1) : 7 и (10³ + 1) : 13.

Рассмотрим число 10⁶ - 1. Имеем: 10⁶ - 1 = (10³ + 1)(10³ - 1). Значит, (10⁶ - 1) ! 7 и (10⁶ - 1) i 13.

Аналогично можно установить, что 10⁹ + 1, 10¹² - 1 и т. д. кратны 1001, а поэтому делятся на 7 и на 13. Например,

Алгебра, 8 класс (А. Г. Мордкович, Н. П. Николаев) 2008

Страница № 169.

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Учебники по алгебре за 7 класс

Учебники по алгебре за 8 класс

Учебники по алгебре за 9 класс

Учебники по алгебре за 10 класс

Учебники по алгебре за 11 класс