Алгебра, 9 класс (Мордкович А.Г.) 2002

Страница № 122.

Учебник: Алгебра. 9 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений. Мордкович А.Г. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002. — 192 с.: ил.

Страницы учебника:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, «122», 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 187, 188, 189, 190, 191, 192

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

^ai = ^av

0*2 d,

а₃ = а₂ +d = (a₁ +d) + d = a_t + 2d, a₄ = a₃ + d = (a₁ + 2d) + d = a₁ + 3d, a₅ = a₄ + d = (a₁ + 3d) + d = dj + 4d и т.д.

Нетрудно догадаться, что для любого номера п справедливо равенство

( ^ап ^{= а} 1 + (» ~ !)<*• )

(1)

Это — формула n-го члена арифметической прогрессии.

Важное замечание. «Нетрудно догадаться», «можно сообразить» и т.д. — это стилистические обороты из области интуиции, догадки, озарения. Разумеется, математики ими пользуются, но в основном для открытия каких-то новых фактов, а не для их обоснования. Формулу (1) мы «прочувствовали», но не обосновали. Приведем (для интересующихся) доказательство.

Если п— 1, то в, = в + (1 — 1 )с/— верное равенство, т.е. формула (1) для п = 1 верна.

Предположим, что формула (1) верна для натурального числа п = к, т.е. предположим, что верно равенство а_к ■=■ а, + [к - 1 )d. Докажем, что тогда формула (1) верна и для следующего натурального числа п — к + 1, т.е. докажем, что a_t+t = а, + kd.

В самом деле, по определению арифметической прогрессии, з_к+) = а_к + d. Далее имеем

^аж ^{= а}к⁺ с*⁼ (^at + (* ~ ¹ )с0 + ^d - ^а, + fccf.

А теперь смотрите: для п = 1 формула (1) верна (это мы проверили). Далее мы доказали, что если формула (1) верна для п = к, то она верна и для п = к + 1. Воспользуемся этим: формула (1) верна для п — 1, значит, она верна и для п = 2; так как она верна для п = 2, то она верна и для п = 3 и т.д. Значит, формула (1) верна для любого натурального числа п.

Приведенный метод рассуждений носит название «метод математической индукции».

Алгебра, 9 класс (Мордкович А.Г.) 2002

Страница № 122.

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Учебники по алгебре за 7 класс

Учебники по алгебре за 8 класс

Учебники по алгебре за 9 класс

Учебники по алгебре за 10 класс

Учебники по алгебре за 11 класс