Страница № 021. Учебник

Учебник: Сборник задач по алгебре: учебное пособие для 8-9 кл. с углубленным изучением математики - М.Л. Галицкий, А.М. Гольдман, Л.И. Звавич; 7-е изд. — М.: Просвещение, 2001. — 271 с.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, «21», 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 187, 188, 189, 190, 191, 192, 193, 194, 195, 196, 197, 198, 199, 200, 201, 202, 203, 204, 205, 206, 207, 208, 209, 210, 211, 212, 213, 214, 215, 216, 217, 218, 219, 220, 221, 222, 223, 224, 225, 226, 227, 228, 229, 230, 231, 232, 233, 234, 235, 236, 237, 238, 239, 240, 241, 242, 243, 244, 245, 246, 247, 248, 249, 250, 251, 252, 253, 254, 255, 256, 257, 258, 259, 260, 261, 262, 263, 264, 265, 266, 267, 268, 269, 270, 271

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Другой способ нахождения НОД (а; 6) состоит в разложении чисел а и 6 на простые множители, отыскании общих множителей, входящих в оба разложения, и вычислении произведения общих простых множителей в наименьших степенях, с которыми эти множители входят в разложение а и 6.

Общим кратным чисел а и 6 называется число, которое делится на а и на 6. Наименьшее общее кратное обозначается НОК (а; 6).

Для нахождения НОК (a; 6) можно разложить на простые множители а и 6 и вычислить произведение всех простых множителей, входящих хотя бы в одно из разложений, причем простые множители, входящие в оба разложения, надо брать в наибольшей из степеней, с которыми этот множитель входит в разложение а и 6.

7. Разложение на множители выражений вида х^п—а^п и

х^п — а^п = (х — а) (х^п~^х + х"^_2а + ... + ;ш^л_2 + а^л~'), х^2п+1 + а^2л+1 = (х + а) (х^2п — х^2п~' а +... — ха^2п~¹ + а²"), где n£N.

Если т>п, то при отнесении каждого из т предметов к одному из п классов хотя бы в один класс попадет не менее двух предметов.

Пример 1. Докажите, что если а и b — целые числа, то ab (а² — Ь²) делится на 6.

Доказательство. Поскольку 6=2-3 и числа 2 и 3 — взаимно простые, то для решения задачи достаточно показать делимость числа ab (а² — Ь ) на 2 и на 3.

Если хотя бы одно из чисел а или 6 четно, то ab (а² — 6²) кратно 2. Если же оба числа а и 6 нечетны, то число а + 6 четно и, значит, ab (а² — b²) = ab (а + 6) (а —6) кратно 2.

Если хотя бы одно из чисел а или 6 кратно 3, то произведение ab(a² — b²) также кратно 3. Осталось рассмотреть случай, когда оба числа а и 6 не делятся на 3. По теореме о делении с остатком каждое из чисел при делении на 3 может давать остатки 1 или 2. Если остатки от деления чисел а и 6 на 3 одинаковые, то тогда разность а — 6 делится на 3, если же остатки разные, то сумма а + 6 делится на 3, так как сумма остатков равна 3. Во всех случаях число ab (а² — Ь²) кратно 3.

Пример 2. Сумма двух целых чисел равна 101, а разность их квадратов — простое число. Найдите эти числа.

Решение. Обозначим искомые числа через а и 6. Тогда а² — Ь² = р, где р — простое, т. е. (а — 6) (а + 6) = р, поскольку а+6 = 101, то 101 (а —6)=р. Отсюда следует, что р делится на

Сборник задач по алгебре, 8-9 класс (М.Л. Галицкий, А.М. Гольдман, Л.И. Звавич) 2001

Страница № 021.

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Учебники по алгебре за 7 класс

Учебники по алгебре за 8 класс

Учебники по алгебре за 9 класс

Учебники по алгебре за 10 класс

Учебники по алгебре за 11 класс