Страница № 230. Учебник

Учебник: Сборник задач по алгебре: учебное пособие для 8-9 кл. с углубленным изучением математики - М.Л. Галицкий, А.М. Гольдман, Л.И. Звавич; 7-е изд. — М.: Просвещение, 2001. — 271 с.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 187, 188, 189, 190, 191, 192, 193, 194, 195, 196, 197, 198, 199, 200, 201, 202, 203, 204, 205, 206, 207, 208, 209, 210, 211, 212, 213, 214, 215, 216, 217, 218, 219, 220, 221, 222, 223, 224, 225, 226, 227, 228, 229, «230», 231, 232, 233, 234, 235, 236, 237, 238, 239, 240, 241, 242, 243, 244, 245, 246, 247, 248, 249, 250, 251, 252, 253, 254, 255, 256, 257, 258, 259, 260, 261, 262, 263, 264, 265, 266, 267, 268, 269, 270, 271

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

при л=1, значит, не кратио 4. Число 5* — 1 оканчивается 24 при <:>1 или равно

4 при k = l, значит, кратно 4. 3.97. Нет. Решение. Пусть существует целое число а такое, что сумма цифр числа а² равна 1991. Тогда а² не кратно 3, значит, и а не кратио 3, т. е. а=3ft ± 1. Итак, а²=9fc²±6fc+1 = 36 + 1, т. е. число а², следовательно, и сумма цифр числа а² при делении иа 3 дает в остатке 1. Пришли к противоречию, так как 1991 при делении иа 3 дает в остатке 2. 3.99. а) Указание. 5^Л + 3=(5^Л—1)+4. 3.103. Указание, а) 7^Л—6-2" = =(7" — 2") — 5-2"; б) 7" + З^{л + |} = (7^Л— 3") + 4-3"; в) 5" + 2" ^{+ |} = (5"-2^л) + 3-2"; г) 9^Л + 4^Л+1=(9^Л —4^л) + 5-4^л. 3.104. Указание, а) 21^л + 4^я+2 = (21^я — 4”) + + 17-4"; б) 15" + 7^л+| = (15" —7") + 8-7^л; в) 13" + 3"+² = (13“ — 3")+ 10-З^л;

г) 5" + 7-9^л=8-9^л— (9" — 5"). 3.105. У к а з а н и е. б) 5“+1 Г + 2 = (5“+ 1) + (11"+ 1);

в) 5" + 13 -11" — 4=(5" + 1) + (11ⁿ + 1) + 12-11" — 6; г) 1" + 3" + 5" + 7" == (1" + 7") + + (3" + 5"). 3.106. Указание, а) 7-5^2л+12-6^л=7 (25^Л-6^Л)+19-6^л; б) 7^л+2 + + 8^2л+1 = 57 • 7" + 8 (64" — 7^Л); в) 3³"⁺² + 5-2³"⁺¹ =9 (27" —8") +19-8^л; г) 6²" + + 3"+² + 3" = З^л ((12"— 1)+ 11). 3.107. Указание, а) 5" + 8" — 2^п+1 =2 (5"-2") + + (8" — 5"); б) 5" + 7" — 2" ⁺¹ = 2 (5" — 2") + (7" — 5^Л) = 2 (5²* — 2²*) + (49* — 25*), где n = 2k. 3.108. Указание, а) Если п нечетное, то 1" + З^л+5^л + 7" делится на 8; если п четное, то n = 2k и Г + 3^Л + 5^Л + 7^Л= 1* + 9* + 25* + 49* = (49* — 1) + + (25*—1) + (9* — 1) + 4 делится иа 4; г) если п нечетное, то условие, очевидно, выполняется; еслн п четное, то n = 2k и 1 * + 9* + 25* + 49* + 81* + 121* + +169*+ 225* = (225*- 1) + (169* — 1) + (121 * — 1)+(81*— 1) + (49* — I) + (25* — 1) + +(9*— 1)+8 кратно 8. 3.109. Указание. Если п четное, то n — 2k, 25* — 9*+4fc делится иа 4. Если п нечетное, то 5²*^+| — 3²*^+| +4fc + 2 = (5²*^+l — 1) —(3²* ^{+ |} + 1) + + 4£ + 4 делится иа 4. 3.110. а) 37; б) 64. 3.111. 54. 3.112. Указание. Предположив противное, получим равенство 10х = у(х—1) и, используя то, что х и х — 1 взаимно простые, покажите, что х = 1. 3.113. Нет. Решение. Пусть х, у, z — количество 5-, 20- и 50-копеечных монет соответственно. Тогда

{5x + 20i/ + 50z = 500, Вычитая из первого уравнения системы второе, имеем: x+y + z = 20.

3i/+9z = 80. Получили противоречие, так как левая часть равенства — целое число, делящееся на 3, а правая нет. 3.114. а) Нет; б) на 5; в) на 2; г) 262161;

д) 196621; е) 589863 р. 3.115. а) (3; —1), (1; —5); б) (1; 6), (7; —12), (—1; —4),

(— 7; 14). У к а з а и и е. Представьте уравнение в виде х (2х-\-у— 1) = 7; в) (2; 1), (0; 1). Указание. Представьте уравнение в виде (х—у) (х— 1)= 1; г) (2; 0),

( —1; 0). Указание. Представьте уравнение в виде (х — Зу)(х—1) = 2.

3.116. а) (0; 0), (2; 2); б) (4; —2), ( — 2; 0), (2; —4), (0; 2). У к а з а н и е. Представьте уравнение в виде (t/+l)(jc— 1)= —3; в) (0; 0), ( — 3; —1). Указание. Представьте уравнение в виде (х+ 1)(3i/ + 2) = 2; г) (0; 0), (—1; —4). Указание. Представьте уравнение в виде (у+2) (2х+1)=2. 3.117. а) (±1; 0). Указание. х²-ху-2у²=(х-2у) (х + у); б) (1; 2), (-1; -2), (5; 2), (-5; -2). 3.118. а) (±2; 1). Указание. х²+ху—2у²—х+у—(х—у)(х+2у—1); б) (1; 1). Указание. 2у² — 2х² + 3ху — 2у + х = (2х + у — 1)(2у — х). 3.119. а) ( — 3; 0), (1; —2), (1; 4), ( — 3; —6). Указание. Записав уравнение в виде (у² — 1) — 2х Q/ +1) = 5, разложите иа множители левую часть; б) (0; —2), (2; —2). Указание. Записав уравнение в виде (х² —1) + 1/(дс—1)= 1, разложите на множители левую часть. 3.120. а) Решение. Из уравнения следует, что х не кратио 3, т. е. jc=3fc±l, ftgZ; подставив дс=3£±1 в уравнение, получим 3(3k²±2k — y)=l6. Пришли к противоречию, так как левая часть — целое число, делящееся иа 3;

Сборник задач по алгебре, 8-9 класс (М.Л. Галицкий, А.М. Гольдман, Л.И. Звавич) 2001

Страница № 230.

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Учебники по алгебре за 7 класс

Учебники по алгебре за 8 класс

Учебники по алгебре за 9 класс

Учебники по алгебре за 10 класс

Учебники по алгебре за 11 класс