Страница № 229. Учебник

Учебник: Сборник задач по алгебре: учебное пособие для 8-9 кл. с углубленным изучением математики - М.Л. Галицкий, А.М. Гольдман, Л.И. Звавич; 7-е изд. — М.: Просвещение, 2001. — 271 с.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 187, 188, 189, 190, 191, 192, 193, 194, 195, 196, 197, 198, 199, 200, 201, 202, 203, 204, 205, 206, 207, 208, 209, 210, 211, 212, 213, 214, 215, 216, 217, 218, 219, 220, 221, 222, 223, 224, 225, 226, 227, 228, «229», 230, 231, 232, 233, 234, 235, 236, 237, 238, 239, 240, 241, 242, 243, 244, 245, 246, 247, 248, 249, 250, 251, 252, 253, 254, 255, 256, 257, 258, 259, 260, 261, 262, 263, 264, 265, 266, 267, 268, 269, 270, 271

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

делится иа 5. Поскольку числа 3, 5 и 8 взаимно простые, то данное число делится и на их произведение, т. е. иа 120. 3.61. Решение. Число я не является четным числом, так как л и 6 взаимно просты, я²—1=(п— 1)(я+1)— произведение двух последовательных четных чисел, поэтому п² — 1 кратно 8. Число я не кратно 3, так как л и 6 взаимно просты, значит, л —1 или я+1 кратио 3. Итак, я² —1 делится иа 3. Числа 3 и 8 взаимно просты, поэтому я²—1 делится на 24 (их произведение), т. е. я² = 24т+1. 3.63. а) 2; б) 3; в) 2; г) 5. 3.65. 14 и 21. 3.67. 3. Решение. Поскольку сумма цифр каждого рассматриваемого шестизначного числа равна 21, то каждое из чисел кратно 3, но не кратно 9. Заметим, что 123465—123456 = 9, значит, НОД является делителем числа 9. Таким образом, НОД равен 3. 3.69. 11. 3.70. 232 и 231. 3.71. Указание. Предположив противное, имеем я²—1—простое число. 3.72. 13, 17 и 19. 3.73. в) Решение. Поскольку р > 3 — простое,тор — нечетное; р² — 1 =(р — 1)(р +1) — произведение двух последовательных четных чисел, поэтому делится на 8. Рассмотрим числа р — 1, р, р + 1. Это три последовательных целых числа, значит, одно нз них кратно 3, этим числом не может быть число р, так как оно простое и больше 3. Значит, р² — 1 кратно 3. Следовательно, р² — 1 кратно 24, так как 3 н 8 взаимно просты. 3.81. 5. Указание. Используйте то, что единственным четным простым числом является число 2. 3.82. Решение. 2¹⁰ + 5^|2 = (2⁵ + 5⁶)² —2-2⁵-5⁶=(2⁵ + 5⁶)²-

— 10⁶ = (2^s + 5^е — 10³) (2^s + 5⁶ + 10³). Итак, данное число разложено на два множителя, каждый из которых больше 1. 3.83. Решение. Число р>3—простое, значит, р = 6fe± 1, k£N (см. № 73, а). Тогда 2р+ 1 = 12fe±2 +1, но по условию 2р + 1—простое, следовательно, 2р + 1 = 12fe — 1 и р = 6k—1, тогда 4р + 1 = = 3 (8k — 1) — составное. 3.84. 3. Указание. Проверьте р = 2 н р = 3. Используя утверждение № 73, покажите, что 8р²+1 делится на 3 при р> 3. 3.85. 6. Решение. Число оканчивается цифрой 1 илн 6, поскольку я³—1 кратно 5. Значит, я=5£+1, k£N\ тогда 0,2 (я³—1) = 0,2(125fe³ + 75fe² + 15^) = (25fe² + +15Jfe + 3) — простое число лишь при k=l. 3.86. Решение. Пусть р — наибольшее простое число. Выпишем все простые числа 2, 3, 5, ..., р и рассмотрим число я=2-3-5- ... -р + 1 (произведение всех простых чисел, увеличенное на 1); число я не является простым (оно больше наибольшего из простых), значит, имеет некоторый простой делитель р,. Число 2-3-5- ... -р также делится на р,-, так как р, — одни из множителей. Отсюда заключаем, что р, — делитель 1. Пришли к противоречию. 3.87. Указание. Рассмотрите 1992 числа 19931+2, 19931 + 3,

1993! + 1993, каждое из которых, очевидно, составное. 3.88. 5. Решение.

— 2 = 3-( —1)+1, 24 = 3-8 + 0, 26 = 3-8 + 2. Виднм, что числа —2, 24 и 26 при делении на 3 дают разные остатки, значит, и числа п — 2, я+ 24 и я+ 26 прн делении на 3 дают разные остатки. Возможных остатков лншь три: 0, 1, 2. Следовательно, одно из чисел я —2, я+ 24, я+ 26 делится на 3. Так как эти числа простые, то одно из них равно 3. Ясно, что этим числом может быть лишь число я —2, откуда я = 5. Проверкой убеждаемся, что при я = 5 все три числа — простые. 3.89. а) 26; б) 20; в) 36; г) 160. 3.90. Указание, а), б) Число делится иа 3. 3.92. Указание. 49¹⁰⁰ оканчивается цифрой 1, а число 14⁵⁰ — цифрой 6. 3.95. Нет. Решение. Пусть существует целое число а такое, что десятичная запись числа а² содержит шесть единиц и семь нулей. Тогда по признаку делимости а² кратно 3, значит, а кратио 3 (так как 3 — простое число), отсюда а² кратно 9. Получили противоречие с признаком делимости на 9. 3.96. Нет. Решение. Число 5" +1 оканчивается 26 при п> 1 или равно 6

Сборник задач по алгебре, 8-9 класс (М.Л. Галицкий, А.М. Гольдман, Л.И. Звавич) 2001

Страница № 229.

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Учебники по алгебре за 7 класс

Учебники по алгебре за 8 класс

Учебники по алгебре за 9 класс

Учебники по алгебре за 10 класс

Учебники по алгебре за 11 класс