Страница № 045. Учебник

Учебник: Геометрия: Учеб. для учащихся 10 кл. с углубл. изуч. математики / А. Д. Александров, А. Л. Вернер, В. И. Рыжик.— М.: Просвещение, 1999. — 238 с.: ил.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, «45», 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 187, 188, 189, 190, 191, 192, 193, 194, 195, 196, 197, 198, 199, 200, 201, 202, 203, 204, 205, 206, 207, 208, 209, 210, 211, 212, 213, 214, 215, 216, 217, 218, 219, 220, 221, 222, 223, 224, 225, 226, 227, 228, 229, 230, 231, 232, 233, 234, 235, 236, 237, 238, 239

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

b и с. Возможны два случая, а) Некоторая проектирующая прямая 1\\а пересекает и прямую Ь, и прямую с (рис. 38). В этом случае прямая /, а также все остальные проектирующие прямые, пересекающие b или с, лежат в одной плоскости р, в той плоскости, которая проходит через параллельные прямые Ь и с. Как доказано выше, проекцией и прямой Ь, и прямой с в этом случае будет прямая Ь', по которой плоскость р пересекает плоскость а.

б) Не существует проектирующих прямых, пересекающих одновременно и Ь, и с. В этом случае проекции прямых b и с на плоскость а — прямые Ь' и с' — не имеют общих точек, т. е. параллельны (рис. 39).

Итак, два первых утверждения теоремы доказаны. Докажем третье.

3. Рассмотрим два отрезка: АВ и CD, лежащие на одной прямой Ь. Как в первом случае, строим проекцию Ь' прямой Ь, проводя плоскость р через а и ft: 6'=аПР- Проекции А'В' и C'D' отрезков АВ и CD лежат на Ь' (рис. 40). Проектирующие прямые, проходящие через точки А, В, С, D, параллельны прямой а и, стало быть, параллельны друг другу (или совпадают). Кроме того, они все лежат в плоскости р. По известной теореме планиметрии параллельные прямые отсекают на двух прямых пропорциональные отрезки. Значит,

Тем самым свойство 3 доказано для отрезков, лежащих на одной прямой.

Пусть теперь отрезки АВ и CD лежат на параллельных прямых Ь и с (рис. 41). Прямые эти лежат в одной плоскости. Проведем прямую АС и через точку В — прямую, ей параллельную. Она пересечет прямую с в какой-то точке М. Получим параллелограмм АВМС.

Проекцией этого параллелограмма на плоскость а будет параллелограмм (когда проекции параллельных прямых параллельны) иди отрезок (когда, эти проекции совпадают). Мы рассмотрим более сложный случай, когда А'В'М'С' — параллелограмм (рассуждения для другого случая лишь упрощаются). Его противоположными сторонами являются отрезки А'В' и С'М' — проекции отрезков АВ и СМ. Так как те и другие — стороны параллелограммов, то АВ = СМ, А'В' = С'М'.

Геометрия, 10 класс (А. Д. Александров, А. Л. Вернер, В. И. Рыжик) 1999

Страница № 045.

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Учебники по геометрии за 7 класс

Учебники по геометрии за 8 класс

Учебники по геометрии за 9 класс

Учебники по геометрии за 10 класс

Учебники по геометрии за 11 класс