Страница № 055. Учебник

Учебник: Геометрия: Учеб. для учащихся 10 кл. с углубл. изуч. математики / А. Д. Александров, А. Л. Вернер, В. И. Рыжик.— М.: Просвещение, 1999. — 238 с.: ил.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, «55», 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 187, 188, 189, 190, 191, 192, 193, 194, 195, 196, 197, 198, 199, 200, 201, 202, 203, 204, 205, 206, 207, 208, 209, 210, 211, 212, 213, 214, 215, 216, 217, 218, 219, 220, 221, 222, 223, 224, 225, 226, 227, 228, 229, 230, 231, 232, 233, 234, 235, 236, 237, 238, 239

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

5.3. Конструктивные и неконструктивные доказательства существования

д Говоря о построениях в элементарной геометрии (как в пространстве, так й на плоскости), следует отметить еще одну их особенность — алгоритмичность. Это означает, что искомое по-v строение (доказательство существования некоторой фигуры) сводится к конечному числу последовательно осуществляемых шагов, каждый из'которых есть одно из нескольких заранее заданных простейших построений. Эти простейшие построения, часто называемые «постулатами построения», есть, конечно, тоже некоторые утверждения существования. Они могут быть аксиомами или самыми первыми следствиями аксиом, а также утверждениями, имеющими общематематический характер.

Для построений в пространстве обычно* принимаются такие условия («постулаты построения»):

1. Если задана фигура, то о каждой точке пространства можно сказать, принадлежит ли она этой фигуре или не принадлежит.

Другими словами, можно выбирать в пространстве точки, как принадлежащие данной фигуре, так и не принадлежащие данной фигуре. ’ ¹

2. Если построены две фигуры, то считается построенным их пересечение (как прямая^ в пересечении двух плоскостей).

3. Если даны две точки, то через них можно¹ провести прямую.

4. Если даны три точки, то через них можно провести плоскость. И точно так же можно провести плоскость через прямую и точку и через две пересекающиеся или параллельные прямые.

5. На каждой плоскости можно проводить любые построения планиметрии1 ^!

Конечно, проводя в дальнейшем то или иное построение, мы не всегда будем доводить его именно до этих пяти основных, первоначальных* построений, а будем ссылаться на уже выполненные построения (как и при доказательствах теорем ссылаются не только на аксиомы, но и на уже доказанные теоремы).

В элементарной геометрии, как в планиметрии, так и в стереометрии, теоремы существования доказываются построениями или, как еще говорят, конструктивно. Такая традиция идет от древнегреческой геометрии, где рассматривались построёния

Геометрия, 10 класс (А. Д. Александров, А. Л. Вернер, В. И. Рыжик) 1999

Страница № 055.

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

5.3. Конструктивные и неконструктивные доказательства существования

Учебники по геометрии за 7 класс

Учебники по геометрии за 8 класс

Учебники по геометрии за 9 класс

Учебники по геометрии за 10 класс

Учебники по геометрии за 11 класс