Страница № 191. Учебник

Учебник: Геометрия: Учеб. для учащихся 10 кл. с углубл. изуч. математики / А. Д. Александров, А. Л. Вернер, В. И. Рыжик.— М.: Просвещение, 1999. — 238 с.: ил.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 187, 188, 189, 190, «191», 192, 193, 194, 195, 196, 197, 198, 199, 200, 201, 202, 203, 204, 205, 206, 207, 208, 209, 210, 211, 212, 213, 214, 215, 216, 217, 218, 219, 220, 221, 222, 223, 224, 225, 226, 227, 228, 229, 230, 231, 232, 233, 234, 235, 236, 237, 238, 239

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

(рис. 215, а). Впишем в цилиндр С две сферы D\ и Ь₂, касающиеся как поверхности цилиндра, так и плоскости а (цилиндр можно взять высоким, чтобы D\ и D₂ не пересекали его оснований). Точки касания шаров D\ и £>2 с а обозначим F\ и F₂ и назовем фокусами эллипса. Окружности, по которым D\ и £>2 касаются цилиндра С, обозначим через Si и S₂.

Ясно, что Si и S2 — большие окружности шаров D\ и D₂, а плоскости, в которых лежат Si и S2, перпендикулярны оси цилиндра С. Поэтому все отрезки образующих цилиндра с концами в точках окружностей Si и S2 равны друг другу. Обозначим их длину через 2а. Возьмем любую точку Хе£. Проведем через X образующую цилиндра С. Она пересечет Si и S2 в точках Yi и Y₂. Так как отрезки XF_t и XY1 касаются шара D\ в точках F\ и Y\ и имеют общий конец X, то XF\ = ЛУг. Аналогично XF₂=XY₂. Поэтому XF,+XF₂=XY_i+XY₂—YiY₂ = 2a.,m '

Из произведенных построений ясно, что,, пря- = мая F\F₂ будет осью симметрии эллипса (рис. 215, б). Отрезок Л|Л₂ этой прямой с концами на эллипсе является большим-диаметром эллипса, и длина его равна 2а (так как A\F\ =A₂F₂). Точка О — середина ; отрезков F\F₂ и Л1Л2 — будет центром симметрии эллипса; Проходящий через О.отрезок В\В₂, перпен-^ дикулярный А\А₂ с концами на эллипсе, будет малым диаметром эллипса. Его длина 2b равна диаметру шаров <D\ и £>2; (диаметру основания цилиндра С). Так,как B\F\ — B\F₂ и BiFi+B\F₂ = 2a, ro BiFi = a. Если/длину отрезка F\F₂* обозначить через 2с, то OE\ = OF₂=c,.. и из прямоугольного' треугольника OFi&v получаем, что,

Эти соотношения и зависимости между элементами эллипса позволяют нам теперь доказать, что множество точек на плоскости, суй,ма расстояний которых до двух данных точек (называемых фокусами) есть вЫичина' постоянная ^и большая, чем расстояние между фокусами)*¹ является эллипсом.

Действительно', пусть на плбскости: а даны две точки Fi и F₂ и задано'некоторое расстояние 2а> % If i/⁷?!,=2с.' По этим данным находим из'равенства (17.1) ;радиус b=^ja² —с^шаров D\ и D₂ и строим эти-шары, касающиеся плоскости, а в точках F\ - и /^г по разные:стороны от а. Цилиндр. С, касающийся шаров^Д| и £>2 (его образующие параллельны ,пря-

Геометрия, 10 класс (А. Д. Александров, А. Л. Вернер, В. И. Рыжик) 1999

Страница № 191.

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Учебники по геометрии за 7 класс

Учебники по геометрии за 8 класс

Учебники по геометрии за 9 класс

Учебники по геометрии за 10 класс

Учебники по геометрии за 11 класс