Страница № 064. Учебник

Учебник: Геометрия: Учеб. для учащихся 10 кл. с углубл. изуч. математики / А. Д. Александров, А. Л. Вернер, В. И. Рыжик.— М.: Просвещение, 1999. — 238 с.: ил.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, «64», 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 187, 188, 189, 190, 191, 192, 193, 194, 195, 196, 197, 198, 199, 200, 201, 202, 203, 204, 205, 206, 207, 208, 209, 210, 211, 212, 213, 214, 215, 216, 217, 218, 219, 220, 221, 222, 223, 224, 225, 226, 227, 228, 229, 230, 231, 232, 233, 234, 235, 236, 237, 238, 239

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

аир является прямой, лежащей как в а, так и в р и проходящей через точки Л и В. Но в плоскости р по аксиоме планиметрии есть лишь одна прямая, проходящая через А и В,— это прямая а. Поэтому она является и прямой, по которой. пересекаются а и р, т. е. прямая а лежит в плоскости а.

Аксиому 3 мы вывели из аксиом 1, 2. Вывод аксиомы 4 значительно сложнее,, и мы его не приводим.

Итак, в системе стереометрии можно было бы оставить лишь аксиомы 1, 2, 5. Такая система аксиом стереометрии проще, но зато нужные выводы получаются из нее сложнее. Впрочем, любая теорема может быть принята за аксиому. Есть, например, изложения, в которых за аксиому принимается первый признак равенства треугольников или даже теорема Пифагора.

Возьмем, например, утверждение: через каждые две пересекающиеся прямые проходит плоскость и притом только одна.

Само по себе это не теорема, не аксиома, а просто верное утверждение стереометрии. Оно становится аксиомой или теоремой в зависимости от сделанного выбора. У нас это теорема, в другом изложении может быть аксиомой.

В общем выбор аксиом — дело условия: одно и то же утверждение теории может быть по выбору принято за аксиому, а может выступать в качестве теоремы, когда приняты другие аксиомы.

Само слово «аксиома» по происхождению греческое и означает в переводе «достойное признания». В обычной речи аксиомой и называют утверждение, достойное признания ввиду его очевидности, несомненности и т.п. Говорят, например, о моральных аксиомах типа «не делай подлостей». Словом, в обычном понимании аксиома — это нечто безусловное. Но в математике аксиомы, как мы видим, условны. Они «достойны признания» не сами по себе, а потому, что на них строится достойная — содержательная, важная — теория.

При условности аксиом сама стереометрия — совокупность ее утверждений с логическими связями— не зависит от каких-либо условий. Так, достопримечательности города с системой улиц и сообщений между ними существуют независимо от выбора туриста. Но турист может выбирать тот или иной исходный пункт, чтобы пройти по всем достопримечательностям. Так и мы, выбрав исход-

Геометрия, 10 класс (А. Д. Александров, А. Л. Вернер, В. И. Рыжик) 1999

Страница № 064.

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Учебники по геометрии за 7 класс

Учебники по геометрии за 8 класс

Учебники по геометрии за 9 класс

Учебники по геометрии за 10 класс

Учебники по геометрии за 11 класс